如果瑪莉歐從日本挖一個洞,能直線挖到里約嗎?

如果瑪莉歐從日本挖一個洞,能直線挖到里約嗎?

里約奧運會閉幕了,按照慣例,下一屆奧運會的主辦方東京在閉幕式上準備了8分鐘宣傳短片和演出。短片的一大亮點,就是趕不上閉幕式的安倍首相在哆啦A夢和超級瑪莉歐的幫助下跳進了東京的一個水管,從地球對面的里約鑽了出來。

所以……我們當然要算一下這是否可能了。

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【東京真的在里約對面嗎? 】

其實只是差不多在,二者相差12個緯度2個經度。

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日本和巴西很近,但其實日本的對蹠點基本都在海上,也就沖繩例外:

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【理想地球下,真的能從東京跳進去就從另一面出來嗎? 】

一個理想化的地球是沒有自轉的均勻完美球體,如果在它上面打一個貫穿地心的真空直洞,連接兩個相對的對蹠點,那麼人在裡面墜落就只受重力。這樣的情況下,不但能,而且非常之快——遠遠勝過最快的飛機。

那麼,以下我們將證明,只靠重力穿過地球的單程旅行需要42分鐘。懶得動腦的話可以跳過不看,但這個證明真的不難,而且相當漂亮:。
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當人站在地球表面的時候,人受到整個地球的吸引。這些引力雖然都是往“下”的,但指向各不相同的斜下方,然而,因為數學是美妙的,所以我們能證明:這些引力合起來的效果,和把整個地球所有質量集中在地心一點的效果,正好一樣。

而當人掉進地球內部的時候,受到的引力就真的是指向四面八方了。幸運的是,還是因為數學的美妙,我們能證明:假如你和地心的距離是d,那麼這些引力合起來的效果,和一個半徑是d的小地球的效果,正好一樣。而從這個距離到地球表面這一段的球殼,正好自己和自己抵消了。

根據引力加速度公式, a = G · M · d^-2;

其中G是不變的常數,M是“小地球”的質量,M = · V = · 4/3 ·π· d^3;

代入進去可以得到, a = G · · 4/3 ·π· d.(當d = 地球半徑r的時候,a就是地表的重力加速度g。)

前面那一堆都是常數,重點在最後:你受到的地球的引力,和你與地心的距離,正好是完美的正比關係。

……這關係是不是很眼熟?
正好和虎克定律一模一樣呀!連在彈簧上的小球,可不就是受力和距離成正比的標準簡諧運動嗎。

 

而簡諧運動的周期是T = 2π· ( d/a ) ^1/2,所以很容易得到,T = 5068秒,大約84.5分鐘。這是一個來回的距離,而單程需要42分鐘。

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一個有趣的非巧合:這個週期公式和繞地球圓周運動的人造衛星公式一模一樣。換言之,如果我們在跳進洞裡的瞬間發射一顆衛星令其貼地飛行(忽略空氣和地形起伏),那麼在另一頭出洞的時候,衛星正好也會飛到目的地迎接你。

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另一個有趣的事實:注意這個週期公式裡的d/a一項,因為a本來就正比於d,所以二者可以約掉。換言之,旅行所需時間(不考慮相對性)和星球的大小無關。不管任何星球,無論它多大,只要密度和理想地球一樣,那單程所需時間一定都是42分鐘。

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在一個理想地球裡,這是一種非常完美的交通運輸方式。首先,旅行者全程失重,想擺什麼姿勢就能擺什麼姿勢。其次,無需消耗任何能源。第三,旅行的前半程逐漸加速,過地心時抵達每小時28萬公里的最快速度,經過地心之後又逐漸減速,到對面的時候速度正好回到了0。不過你得趕緊抓住個什麼東西,不然又掉回去了。

當然囉,我們的地球一點都不理想……

【現實中的地球嘛,呵呵】

之所以這麼好的交通還沒有成為現實,是因為這麼幾個基本問題:

1.純正管道要連接地球表面相對的兩個點,問題是地球上大部分人口密集區的對面都是海洋啊……真正住人的地方能對上的,只有中國局部地區/東南亞和南美。

想挖到巴西的話,這個坑應該位於琉球……

2.隧道必須是真空的。要想讓穿過地心的運動成為簡諧運動,那就不能有阻力,否則人的最快速度只能抵達每秒一百多米,以這樣的速度不但抵達地心要花10小時以上,而且遠遠不足以從另一端穿出,很快就會掉回去,最後停在地心動彈不得,那時候可就誰也救不了你了。

但是人又不能在真空中呼吸……所以肉身直接跳下去是不可能了,只能坐氣密艙或者穿太空服。

順便說,普通氧氣面罩在真空裡是無效的:雖然它們能把氧氣送到你嘴邊,但你吸不進去。人的呼吸是擴大胸廓,令肺部壓強低於外界氣壓,將氣體抽進去;普通氧氣面罩是不密封的,噴出來的氧氣會立刻逃逸,自然也就不會往肺裡走。

3.現實中地球有自轉。除非隧道連通的是南北兩極,不然人一定是有自轉線速度的,在赤道上這個速度最大——超過每秒460米。地球自轉的角速度一定,因此越往地心線速度越小,而你的線速度卻還是地表的最大值,所以剛跳進去用不了多久就會碰壁,然後承受牆壁的摩擦力減速,最終落得和場景2一樣的下場。

解決方法,要嘛把管道壁做成絕對光滑的無摩擦表面(似乎不太可能),要嘛就不能挖直線管道了,得挖出一個更加複雜的弧線。那麼以上的計算當然也就全都失效了。

4.隧道會經過地心。地心大概是個熔融的大鐵球,溫度有大概攝氏6000度。迄今為止人類還沒有製造出能在這麼高溫度下還保持固態的東西——紀錄保持者是鉿鉭碳合成材料,攝氏3900度而已。別說溫度了,就連鑽一個這麼深的洞都做不到:人類現在最深的鑽井——科拉超深井——只有區區12.2公里而已。

所幸,瑪莉歐裡出現過能抵抗熔岩的紅色管道,還能鑽過這樣的管道而毫髮無傷。誠然,近地面的熔岩溫度其實不高,不過一千兩百度而已,但反正瑪莉歐的地下關也沒說有多深。只要讓哆啦A夢稍微費點功夫,在地下部分修些紅色管道就行。

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至少瑪莉歐的管道看起來是抗高溫的。

但是,你都有哆啦A夢了,直接做個任意門不好嗎……

出處:網易科技

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